1-3 命题公式与翻译

不包含任何联结词的命题叫做原子命题，至少包含一个联结词的命题称作复合命题。

$P$ $Q$ $\neg P$ $P \lor Q$ $(P \lor Q) \lor (P \to Q)$ $P \leftrightarrow (Q \lor \neg P)$ 都是复合命题。

$P$ $Q$ 命题公式 $P$ $Q$ 称作命题公式的分量。

注意：命题公式是没有真假值的，仅当在一个公式中命题变元用确定的命题代入时，才得到一个命题。这个命题的真值，依赖于代换变元的那些命题的真值。此外，并不是由命题变元，联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式。

定义 1-3.1：命题演算的合式公式（wff），规定为：

(1) 单个命题变元本身是一个合式公式。

$A$ $\neg A$ 是合式公式。

$A$ $B$ $(A \land B)$ $(A \lor B)$ $(A \to B)$ $(A \leftrightarrow B)$ 都是合式公式。

(4) 当且仅当能够有限次地应用 (1)、(2)、(3) 所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。

这个合式公式的定义，是以递归形式给出的，其中 (1) 称为基础，(2) (3) 称为归纳，(4) 称为界限。

按照定义，下列公式都是合式公式：

\neg (P \land Q), \neg (P \to Q), (P \to (P \lor \neg Q)) (((P \to Q) \land (Q \to R)) \leftrightarrow (S \leftrightarrow T))

而

(P \to Q) \to (\land Q), (P \to Q, (P \land Q) \to Q)

等都不是合式公式。

为了减少圆括号的数量，约定最外层圆括号可以省略。

$\neg$ $\land$ $\lor$ $\to$ $\leftrightarrow$ $P \land Q \to R$ 也是合式公式。

有了联结词的合式公式概念，我们可以把自然语言中的有些语句，翻译成数理逻辑中的符号形式。

例题1

试以符号形式写出命题：我们要做到身体好、学习好、工作好，为祖国四化建设而奋斗。

\begin{aligned} 解 ： 找 出 各 原 子 命 题 ， 并 用 符 号 表 示 ： \\ A ： 我 们 要 做 到 身 体 好 。 \\ B ： 我 们 要 做 到 学 习 好 。 \\ C ： 我 们 要 做 到 工 作 好 。 \\ P ： 我 们 要 为 祖 国 四 化 建 设 而 奋 斗 。 \\ 故 命 题 可 形 式 化 为 ： (A \land B \land C) \leftrightarrow P \end{aligned}

$A \land B \land C \leftrightarrow P$ 。

例题2

上海到北京的14次列车是下午五点半或六点开。

\begin{aligned} 解 P ： & 上 海 到 北 京 的 14 次 列 车 是 下 午 五 点 半 开 。 \\ Q ： & 上 海 到 北 京 的 14 次 列 车 是 下 午 六 点 开 。 \end{aligned}

$\lor$ 是“可兼或”，因此不能直接对两命题析取。构造如下表格：

$P$	$Q$	原命题	$P \leftrightarrow Q$	$\neg (P \leftrightarrow Q)$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$F$

$\neg (P \leftrightarrow Q)$ 。

例题3

他既聪明又用功。

\begin{aligned} 解 & 若 设 \\ P ： 他 聪 明 。 Q ： 他 用 功 。 \\ 在 自 然 语 言 中 这 个 “ 既 \dots \dots 又 \dots \dots ” 显 然 与 “ 且 ” 的 意 义 一 样 ， \\ 故 本 例 可 记 为 ： \end{aligned} P \land Q

例题4

他虽聪明但不用功。

\begin{aligned} 解 & 这 里 “ 虽 \dots \dots 但 \dots \dots ” 这 个 词 不 能 用 前 述 联 结 词 表 达 ， 但 其 实 际 意 义 是 ： 他 聪 明 且 不 用 功 。 若 设 \\ P ： 他 聪 明 。 Q ： 他 用 功 。 \\ 本 例 可 表 示 为 ： \end{aligned} P \land \neg Q

例题5

除非你努力，否则你将失败。

\begin{aligned} 解 & 这 个 命 题 的 意 义 ， 亦 可 理 解 为 ： 如 果 你 不 努 力 则 你 将 失 败 。 若 设 \\ P ： 你 努 力 。 Q ： 你 失 败 。 \\ 本 例 可 表 示 为 ： \end{aligned} \neg P \to Q

例题6

张三或李四都可以做这件事。

\begin{aligned} 解 & 这 个 命 题 的 意 义 是 ： 张 三 可 以 做 这 件 事 ， 并 且 李 四 也 可 以 做 这 件 事 。 若 设 \\ P ： 张 三 可 以 做 这 事 。 Q ： 李 四 可 以 做 这 事 。 \\ 本 例 可 表 示 为 ： \end{aligned} P \land Q

从上面的例子中可以看到，自然语言中的一些联结词，如：“与”，“且”，“或”，“除非……则……”等等都各有其具体含义，因此需分别不同情况翻译成适当的逻辑联结词。为了便于正确表达命题间的相互关系，有时也常常采用列出“真值表”的方法，进一步分析各原命题，以此寻找逻辑联结词，使原来的命题能够正确地用形式符号予以表达。

$P$	$Q$	原命题	$P \leftrightarrow Q$	$\neg (P \leftrightarrow Q)$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$F$

$P$	$Q$	原命题	$P \leftrightarrow Q$	$\neg (P \leftrightarrow Q)$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$F$

$P$	$Q$	原命题	$P \leftrightarrow Q$	$\neg (P \leftrightarrow Q)$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$F$