1-2 联结词

否定

定义 1-2.1：设 $P$$P$ 为一命题，$P$$P$ 的否定是一个新的命题，记作 $\mathrm{\neg }P$$\neg P$。若 $P$$P$ 为 $T$$T$，$\mathrm{\neg }P$$\neg P$ 为 $F$$F$；若 $P$$P$ 为 $F$$F$，$\mathrm{\neg }P$$\neg P$ 为 $T$$T$。联结词“$\mathrm{\neg }$$\neg$”表示命题的否定。否定联结词有时亦可记作“$\stackrel{―}{}$$\overline{\quad}$”。

命题 $P$$P$ 与其否定 $\mathrm{\neg }P$$\neg P$ 的关系如下表所示：

合取

定义 1-2.2：两个命题 $P$$P$ 和 $Q$$Q$ 的合取是一个复合命题，记作 $P\wedge Q$$P \land Q$。当且仅当 $P、Q$$P、Q$ 同时为 $T$$T$ 时， $P\wedge Q$$P \land Q$ 为 $T$$T$，在其他情况下， $P\wedge Q$$P \land Q$ 的真值都是 $F$$F$。

联结词“$\wedge$$\land$”的定义表如下所示：

合取的概念与自然语言中的“与”意义相似，但并不完全相同。例如：

上述命题的合取为

在自然语言中，上述命题是没有意义的，因为 $P$$P$ 与 $Q$$Q$ 没有内在联系，但作为数理逻辑中 $P$$P$ 和 $Q$$Q$ 的合取 $P\wedge Q$$P \land Q$ 来说，它仍可成为一个新的命题，只要按照定义，在 $P、Q$$P、Q$ 分别取真值后， $P\wedge Q$$P \land Q$ 的真值也必确定。

命题联结词“合取”可以将若干个命题联结在一起。

“合取”是一个二元运算。

析取

定义 1-2.3：两个命题 $P$$P$ 和 $Q$$Q$ 的析取是一个复合命题，记作 $P\vee Q$$P \lor Q$。当取仅当 $P、Q$$P、Q$ 同时为 $F$$F$ 时， $P\vee Q$$P \lor Q$ 的真值为 $F$$F$，否则 $P\vee Q$$P \lor Q$ 的真值为 $T$$T$。

联结词“$\vee$$\lor$”的定义如下表所示：

从析取的定义可以看到，联结词 $\vee$$\lor$ 与汉语中的“或”的意义也不全相同，因为汉语中的“或”，可表示“排斥或”，也可表示“可兼或”。

在例1中的“或”是“排斥或”，例2中的“或”是“可兼或”，而析取指的是“可兼或”。还有一些汉语中的“或”字，实际不是命题联结词。

这个例子中的“或”字，只表示了习题的近似数目，不能用联结词“析取”表达，例3是个原子命题。

条件

定义 1-2.4：给定两个命题 $P$$P$ 和 $Q$$Q$，其条件命题是一个复合命题，记作 $P\to Q$$P \to Q$，读作“如果 $P$$P$，那么 $Q$$Q$”或“若 $P$$P$ 则 $Q$$Q$”。当且仅当 $P$$P$ 的真值为 $T$$T$，$Q$$Q$ 的真值为 $F$$F$ 时， $P\to Q$$P \to Q$ 的真值为 $F$$F$，否则 $P\to Q$$P \to Q$ 的真值为 $T$$T$。我们称 $P$$P$ 为前件，$Q$$Q$ 为后件。

联结词“$\to$$\to$”的定义如下表所示：

在自然语言中，“如果…”与“那么…”之间常常是有因果联系的，否则就没有意义。但对条件命题 $P\to Q$$P \to Q$ 来说，只要 $P、Q$$P、Q$ 能够分别确定真值， $P\to Q$$P \to Q$ 即成为命题。

在条件命题中，前提为 $F$$F$ 时，条件命题的真值都取为 $T$$T$。

在数学上和有些逻辑学的书籍中，“若 $P$$P$ 则 $Q$$Q$”亦可叫作“$P$$P$ 蕴含 $Q$$Q$”，但很多条件命题中将避免使用“蕴含”一词，因为在以后将另外定义“蕴含”这个概念。

命题联结词“$\to$$\to$”亦可记作“$\supset$$\supset$”。条件联结词亦是二元运算。

双条件

定义 1-2.5：给定两个命题 $P$$P$ 和 $Q$$Q$，其复合命题 $P\leftrightarrow Q$$P \leftrightarrow Q$ 称作双条件命题，读作“$P$$P$ 当且仅当 $Q$$Q$”。当 $P$$P$ 和 $Q$$Q$ 的真值相同时， $P\leftrightarrow Q$$P \leftrightarrow Q$ 的真值为 $T$$T$，否则 $P\leftrightarrow Q$$P \leftrightarrow Q$ 的真值为 $F$$F$。

联结词“$\leftrightarrow$$\leftrightarrow$”的定义如下表所示：

双条件联结词亦可记作“iff”，它亦是二元运算。