1-5 重言式与蕴含式

$T$ $F$ ，这两类特殊的命题公式在命题演算中极为有用。

$T$ ，则称该命题公式为重言式或永真公式。

$F$ ，则称该命题为矛盾式或永假公式。

定理 1-5.1：任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。

定理 1-5.2：一个重言式，对同一分量都用任何合式公式置换，其结果仍为一重言式。

定理 1-5.3： $A$ $B$ $A \iff B$ $A \leftrightarrow B$ 为一个重言式。

$P \to Q$ $P$ $Q$ $P \implies Q$ 。

$P \to Q$ $P \to Q$ $Q \to P$ $P \to Q$ $Q \to P$ 逆换式 $\neg P \to \neg Q$ 反换式 $\neg Q \to \neg P$ 称为它的逆反式，它们之间的关系如表 1-5.1 所示。

表 1-5.1

$P$	$Q$	$\neg P$	$\neg Q$	$P \to Q$	$\neg Q \to \neg P$	$Q \to P$	$\neg P \to \neg Q$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$

从表 1-5.1 中看出：

(P \to Q) ⟺ (\neg Q \to \neg P) (Q \to P) ⟺ (\neg P \to \neg Q)

例题1

$\neg Q \land (P \to Q) \implies \neg P$

\begin{aligned} 证 法 1 假 定 \neg Q \land (P \to Q) 为 T ， 则 \neg Q 为 T ， 且 (P \to Q) 为 T 。 由 Q 为 F ， P \to Q 为 T ， 则 必 须 P 为 T ， 故 \neg P 为 T 。 \\ 证 法 2 假 定 \neg P 为 F ， 则 P 为 T 。 \\ (a) ： 若 Q 为 F ， 则 P \to Q 为 F ， \neg Q \land (P \to Q) 为 F 。 \\ (b) ： 若 Q 为 T ， 则 \neg Q 为 F ， \neg Q \land (P \to Q) 为 F 。 \\ 所 以 \neg Q \land (P \to Q) ⟹ \neg P 成 立 。 \end{aligned}

表 1-5.2 所列各蕴含式都可如上述推理方法证明：

表 1-5.2

蕴含式	序号
$P \land Q \implies P$	1
$P \land Q \implies Q$	2
$P \implies P \lor Q$	3
$\neg P \implies P \to Q$	4
$Q \implies P \to Q$	5
$\neg (P \to Q) \implies P$	6
$\neg (P \to Q) \implies \neg Q$	7
$P \land (P \to Q) \implies Q$	8
$\neg Q \land (P \to Q) \implies \neg P$	9
$\neg P \land (P \lor Q) \implies Q$	10
$(P \to Q) \land (Q \to R) \implies P \to R$	11
$(P \lor Q) \land (P \to R) \land (Q \to R) \implies R$	12
$(P \to Q) \land (R \to S) \implies (P \land R) \to (Q \land S)$	13
$(P \leftrightarrow Q) \land (Q \leftrightarrow R) \implies (P \leftrightarrow R)$	14

定理 1-5.4： $P$ $Q$ $P \iff Q$ $P \implies Q$ $Q \implies P$ 。

\begin{aligned} 证 明 & 若 P ⟺ Q ， 则 P \leftrightarrow Q 为 重 言 式 ， \\ 因 为 P \leftrightarrow Q ⟺ (P \to Q) \land (Q \to P) ， \\ 故 P \to Q 为 T 且 Q \to P 为 T ， 即 P ⟹ Q ， Q ⟹ P 成 立 。 \\ 反 之 ， 若 P ⟹ Q 且 Q ⟹ P ， 则 P \to Q 为 T 且 Q \to P 为 T ， \\ 因 此 P \leftrightarrow Q 为 T ， P \leftrightarrow Q 是 重 言 式 ， 即 P ⟺ Q 。 \end{aligned}

蕴含有下面几个常用的性质：

$A$ $B$ $C$ $A \implies B$ $A$ $B$ 必是重言式。

证 明 因 为 A \to B 永 为 T ， 所 以 ， 当 A 为 T 时 ， B 必 永 为 T 。

$A \implies B，B \implies C$ $A \implies C$ ，即蕴含关系是传递的。

证 明 由 A ⟹ B, B ⟹ C ， 即 A \to B ， B \to C 为 重 言 式 。 所 以 (A \to B) \land (B \to C) 为 重 言 式 。

$A \implies B$ $A \implies C$ $A \implies (B \land C)$ 。

\begin{aligned} 证 明 & 由 假 设 A \to B ， A \to C 为 重 言 式 。 设 A 为 T ， 则 B 、 C 为 T ， 故 B \land C 为 T 。 因 此 A \to (B \land C) 为 T 。 \\ 若 A 为 F ， 则 B \land C 不 论 有 怎 样 的 真 值 ， A \to (B \land C) 为 T 。 \\ 所 以 \end{aligned} A ⟹ (B \land C)

$A \implies B$ $C \implies B$ $A \lor C \implies B$ 。

\begin{aligned} 证 明 & 因 为 A \to B 为 T, C \to B 为 T ， 故 (\neg A \lor B) \land (\neg C \lor B) 为 T 。 \\ 即 (\neg A \land \neg C) \lor B 为 T 或 A \lor C \to B 为 T 。 \\ 所 以 \end{aligned} A \lor C ⟹ B

$P$	$Q$	$\neg P$	$\neg Q$	$P \to Q$	$\neg Q \to \neg P$	$Q \to P$	$\neg P \to \neg Q$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$

$P$	$Q$	$\neg P$	$\neg Q$	$P \to Q$	$\neg Q \to \neg P$	$Q \to P$	$\neg P \to \neg Q$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$

$P$	$Q$	$\neg P$	$\neg Q$	$P \to Q$	$\neg Q \to \neg P$	$Q \to P$	$\neg P \to \neg Q$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$