2-2 命题函数与量词

为了说明命题函数的概念，下面先举例解释命题与谓词的关系。

$H$ $l$ $t$ $c$ $H(l)$ $H(t)$ $H(c)$ $H(x)$ $x$ $l$ $t$ $c$ 时就表示“李四能够到达山顶”，“老虎能够到达山顶”，“汽车能够到达山顶”。

$L(x, y)$ $x$ $y$ $L(2, 3)$ $2$ $3$ $L(5, 1)$ $5$ $1$ ”。

$A(x, y, z)$ $x$ $y$ $z$ $A(3, 2, 5)$ $3 + 2 = 5$ $A(1, 2, 4)$ $1 + 2 = 4$ ”。

$H(x)$ $L(x, y)$ $A(x, y, z)$ $x, y, z$ 等取特定的客体时，才确定了一个命题。

定义 2-2.1：由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数。

$n$ $n$ $n = 0$ $0$ $n$ 元谓词的一个特殊情况。

$n$ 个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式称复合命题函数。

$\neg$ $\land$ $\lor$ $\to$ $\leftrightarrow$ 的意义与命题演算中的解释完全类同。

例1

$S(x)$ $a$ $W(x)$ $x$ $\neg S(x)$ $x$ $S(x) \land W(x)$ $x$ $S(x) \to W(x)$ $x$ $x$ 工作的很好。”

例2

$H(x, y)$ $x$ $y$ $l$ $c$ 表示张三。

$\neg H(l, c)$ $\neg H(l, c) \land \neg H(c, l)$ 表示“李四不比张三长得高”且“张三不比李四长得高”即“张三与李四同样高”。

例3

$Q(x, y)$ $x$ $y$ $x$ $y$ $x$ $y$ $Q(x, y)$ 就不是一个命题。

命题函数不是一个命题，只有客体变元取特定名称时，才能成为一个命题。但是客体变元在哪些范围内取特定的值，对是否成为命题及命题真值极有影响。

例4

$R(x)$ $x$ $x$ $R(x)$ 是永真式。

$x$ $R(x)$ 是永假式。

$x$ $R(x)$ $R(x)$ 为假。

例5

$(P(x, y) \land P(y, z)) \to P(x, z)$

$P(x, y)$ $x$ $y$ $x$ $y$ $z$ $x$ $y$ $y$ $z$ $x$ $z$ "。这是一个永真式。

$P(x, y)$ $x$ $y$ $x$ $y$ $z$ $x$ $y$ $y$ $z$ $x$ $z$ 的儿子”。这个式子表达的是一个永假公式。

$P(x, y)$ $x$ $y$ $x$ $y$ $z$ $x$ $y$ $y$ $z$ $x$ $z$ $x$ $y$ $z$ $T$ $F$ 。

从上述两例可以看到，命题函数确定为命题，与客体变元的论述范围有关。在命题函数中，命题变元的论述范围称作个体域。个体域可以是有限的，也可以是无限的，把各种个体域综合在一起作为论述范围的域称全总个体域。

$S(x)$ $x$ $x$ $S(x)$ 可以表示某单位职工都是大学生，也可以表示某单位存在一些职工是大学生。为了避免这种理解上的混乱，因此需要引入量词，以刻划“所有的”和“存在一些”的不同概念。

例如：

(a) 所有的人都是要呼吸的。

(b) 每个学生都要参加考试。

$x$ $(\forall x)$ $(x)$ $x$ ”。

\begin{aligned} 若设 & M (x) ： x 是 人 ， & H (x) ： x 要 呼 吸 。 \\ P (x) ： x 是 学 生 ， & Q (x) ： x 要 参 加 考 试 。 \\ I (x) ： x 是 整 数 ， & R (x) ： x 是 正 数 ， N (x) ： x 是 负 数 。 \end{aligned}

则上述三例就记为：

\begin{aligned} (a) (\forall x) (M (x) \to H (x)) \\ (b) (\forall x) (P (x) \to Q (x)) \\ (c) (\forall x) (I (x) \to (R (x) \lor N (x))) \end{aligned}

$\forall$ ”称为全称量词，用来表达“对所有的”“每一个”“对任一个”等。

$(\exist x)$ $x$ ”。

例如：

(a) 存在一个数是质数。

(b) 一些人是聪明的。

\begin{aligned} 设 & P (x) ： x 是 质 数 。 \\ M (x) ： x 是 人 。 \\ R (x) ： x 是 聪 明 的 。 \\ E (x) ： x 早 饭 吃 面 包 。 \end{aligned}

则上述三例可表示为：

\begin{aligned} (a) (\exists x) (P (x)) \\ (b) (\exists x) (M (x) \land R (x)) \\ (c) (\exists x) (M (x) \land E (x)) \end{aligned}

$\exist$ ”称为存在量词，可用来表达“存在一些”“至少有一个”“对于一些”等。

$(\forall x)(M(x) \to H(x))$ $(\forall x)(H(x))$ $T$ $F$ $(\forall x) (H(x))$ $(\forall x) (M(x) \to H(x))$ $M(x)$ $H(x)$ $(\exist x) (H(x))$ $(\exist x) (M(x) \land H(x))$ $M(x)$ $H(x)$ 中变元的范围。