2-3 谓词公式与翻译

我们知道，简单命题函数与逻辑联结词可以组合成一些谓词表达式。有了谓词与量词的概念，谓词表达式所能刻划的日常命题就能广泛而深入得多了。但是，怎样的谓词表达式才能成为谓词公式并能进行谓词演算呢？下面先介绍谓词的合式公式。

我们把 $A(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$$A(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 称作谓词演算的原子公式，其中 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是客体变元，因此原子谓词公式包括下述形式的各种特例。如：$Q,A(x),A(x,y),A(f(x),y),A(x,y,z),A(a,y)$$Q, A(x), A(x, y), A(f(x), y), A(x, y, z), A(a, y)$ 等。

定义 2-3.1：谓词演算的合式公式，可由下述各条组成：

(1) 原子谓词公式是合式公式。

(2) 若 A 是合式公式，则 $\mathrm{\neg }A$$\neg A$ 是一个合式公式。

(3) 若 $A$$A$ 和 $B$$B$ 都是合式公式，则 $(A\wedge B),(A\vee B),(A\to B)$$(A \land B), (A \lor B), (A \to B)$ 和 $(A\leftrightarrow B)$$(A \leftrightarrow B)$ 是合式公式。

(4) 如果 $A$$A$ 是合式公式，$x$$x$ 是 $A$$A$ 中出现的任何变元，则 $(\mathrm{\forall }x)A$$(\forall x) A$ 和 $(\mathrm{\exists }x)A$$(\exist x) A$ 都是合式公式。

(5) 只有经过有限次地应用规则 (1)、(2)、(3)、(4) 所得到的公式是合式公式。

在讨论命题公式时，曾用了关于圆括号的某些约定，即最外层的括号可以省略，在谓词合式公式中亦将遵守同样原约定，但需注意，量词后面若有括号则不能省略。

谓词合式公式，今后简称谓词公式。